证明:若A,B为n阶矩阵 则|AB|=|A||B|
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/13 09:37:31
这个只好用定义去证明了,思路不是很难,就是运算麻烦点。不太好打,如果你手边能找到线性代数的书就再好不过了。
简单来说,就是构造2n阶的矩阵D(这里用分块矩阵表示)
D =
|A 0|
|C B|
这是一个上三角矩阵,易得|D| = |A||B|
(A、B是原来的n阶阵,O代表全零的n阶矩阵,C代表对角线上元素全部是-1,其他元素全部是0的n阶对角矩阵)
下面证明|D| = |AB|
对矩阵D施行初等行变换(具体过程很繁琐,略去)变换成下面的形式D =
|A M|
|C 0|
其中0还是全零矩阵,矩阵M的元素M(i,j) = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + ... + a(i,n)b(n,j),(易看出M实际上就是矩阵AB)
取D的第n + 1,n + 2,。。。,2n列,将行列式按块展开,
D = (-1)^(1+2+3+..+n) * |C| * |M|
(C是对角线全为-1的对角矩阵,其行列式的值易求得)
即有|D| = |AB|
证明:A,B为n阶矩阵,I-AB可逆,则I-BA可逆
设A为n阶矩阵且正定,B是m*n阶实矩阵,证明:BTAB为正定矩阵的充要条件是:r(B)=n
证明若A、B是两个实对称的n阶正定矩阵,则A B亦然
若n阶方阵A的伴随矩阵为A*,证明|A|=0
设A为M * N矩阵,B为N*M矩阵,则()
设n阶矩阵A满足A平方=A, E为n阶单位矩阵,证明r(A)+r(A-E)=n.
AB=0,A可逆,证明B=0(A,B为两同阶矩阵)
证明:如果矩阵A与所有的n阶矩阵可交换,则A一定是数量矩阵,即A=aE
急问线代:证明若A是n阶方阵,n是奇数,且A与A的逆矩阵乘积等于E(单位矩阵),│A│=1,则│E-A│=0
线性代数的问题:A,B都是m*n 矩阵,证明: rank(A+B)<=rank(A)+rank(B)